Trigonometria

 TRIGONOMETRIA

O surgimento da trigonometria está diretamente ligado aos povos egípcios e babilônicos. Eles utilizavam as razões entre os lados de um triângulo na resolução de problemas cotidianos. Mas foi na Grécia que a trigonometria obteve ascensão.  é o possível mentor desta ciência, pois é atribuído a ele o estabelecimento das bases trigonométricas.
A necessidade de medir ângulos e distância inacessíveis nos problemas relacionados à astronomia contribuiu para o uso da trigonometria como ferramenta auxiliar. Os hindus e os árabes também tiveram participação incisiva no seu desenvolvimento. Mas até então a trigonometria era uma parte da astronomia. Foi na Europa, por volta do século XV, que a trigonometria foi separada da astronomia, surgindo inúmeras aplicações em diversas áreas do conhecimento. O termo trigonometria é de origem grega e está associado ao triângulo e suas medidas.

        Razões Trigonométricas

• CATETOS E HIPOTENUSA

 Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de HIPOTENUSA e os lados adjacentes de CATETOS.

Hipotenusa:    BC

Catetos:         AC e AB

• SENO,COSSENO E TANGENTE

   Considere um triângulo retângulo BAC:

Hipotenusa:    BC, m(BC) = a.

Catetos:          AC , m(AC) = b.

                          AB, m(AB) = c.

Ângulos:         A, B  e  C.

Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:

•SENO: de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.                                 

Seno= Medida do Cateto Oposto
           Medida da Hipotenusa

             

   Ex:

•SEN: C=c.a

•SEN: B=b.a

COSSENO: de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

COSSENO= Medida Do Cateto Adjacente
           Medida Da Hipotenusa

Ex:

 COS:C=b.a

COS: B=c.a

Tangente: de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

  Ex:                                           

TANGENTE= Medida Do Cateto Oposto
                              Medida Do Cateto Adjacente 

TG=B:b.c

TG=C:c.b

 

   Observações:

    1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo e o seu cosseno.

   Assim:  

  2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo.

    3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores    que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa.

          TEOREMA DE PITÁGORAS

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática. Ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, que mede 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e localiza-se opostamente ao ângulo reto. 

Observe: 

                 Catetos: a e b                              Hipotenusa: c

Triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa c

O Teorema de Pitágoras diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c² 

Exemplos:

 Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

                                   x² = 9² + 12²
                                   x² = 81 + 144
                                   x² = 225
                                  √x² = √225
                                   x = 15
Um ciclista acrobático passará de um prédio a outro com uma bicicleta especial e sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:

Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?

Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)

trigonométricas de 30º, 45º e 60º

VÍDEO AULA SOBRE TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA

 EXERCÍCIOS SOBRE TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

(UF – PI)

1°)  Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião?

2°)De um ponto A, um agrimensor enxerga o topo T de um morro, conforme um ângulo de 45º. Ao se aproximar 50 metros do morro, ele passa a ver o topo T conforme um ângulo de 60º. Determine a altura do morro.

(Cefet – PR)

A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas,  cruzam-se conforme um ângulo de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul  encontra-se na avenida Teófilo Silva a 4 000 m do citado cruzamento. Sabendo que o percurso do posto Estrela do Sul até a rua tenório quadros forma um ângulo de 90° no ponto de encontro do posto com a rua Teófilo Silva, determine em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros?

 Resposta

1°)

A altura será de 500 metros. 

2°)

3°)

Frações e suas classificações

Frações 

 É uma forma de se representar uma quantidade a partir de um valor, que é dividido por um determinado número de partes iguais.

Adição e subtração:

Primeiro caso: Frações com denominadores iguais

Quando for necessário somar ou subtrair frações com denominadores iguais, some (ou subtraia) apenas os numeradores e mantenha o denominador intacto. Observe o exemplo a seguir:

6 – 4 = 6 – 4 = 2

3    3      3       3

Segundo caso: Frações com denominadores diferentes

Quando as frações possuem denominadores diferentes, é necessário encontrar outras frações equivalentes a essas que possuam denominadores iguais. Veja:

10 + 12 – 3

 4      5    6

Passo 1: Calcular o mínimo múltiplo comum entre os denominadores. O valor encontrado será o denominador comum que possibilitará substituir as frações dadas por outras com denominadores iguais. No exemplo, temos:

4,5,6| 2

2,5,3| 2

1,5,3| 3

1,5,1| 5 

 1,1,1| 60

Passo 2: Reescrever as frações com o novo denominador, deixando o espaço do numerador para os números que serão encontrados no passo seguinte.

10 + 12 – 3 =       +      –       

 4     5     6      60    60     60

Passo 3: Encontre os numeradores das novas frações. Para isso, o seguinte cálculo deverá ser feito: Para encontrar o numerador da primeira fração, divida o MMC pelo denominador da primeira fração e multiplique o resultado pelo seu numerador. O resultado obtido por esse cálculo será o numerador da primeira fração que possui denominador igual ao MMC. Repita o procedimento para todas as frações presentes na soma ou subtração.

10 + 12 – 3 = 150 + 144 – 30

 4      5    6     60      60    60

Observe que o novo numerador da primeira fração é 150, pois 60 dividido por 4 é 15, e 15 vezes 10 é 150. Repita o procedimento para cada fração separadamente: 60 dividido por 5 é 12, e 12 vezes 12 é 144 – numerador da segunda fração. Por fim, 60 dividido por 6 é 10, e 10 vezes 3 é 30. Logo, os numeradores do lado direito da igualdade, em ordem, são: 150, 144 e 30.

Passo 4: Somar as novas frações utilizando o caso anterior (de denominadores iguais). Após encontrar as novas frações, basta repetir o procedimento anterior, no qual somamos ou subtraímos os numeradores e mantemos o denominador intacto.

10 + 12 – 3 = 150 + 144 – 30 = 150 + 144 – 30 = 264

 4      5    6      60      60    60               60            60 

Fonte: mundoeducação.bol.uol.com.br

Multiplicação e divisão:

A multiplicação de frações é muito simples, basta multiplicarmos numerador por numerador e denominador por denominador, respeitando suas posições. Observe:

A divisão deve ser efetuada aplicando uma regra prática e de fácil assimilação, que diz: “repetir a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda”.

Fonte: mundoeducação.bol.uol.com.br

Nomenclatura:

 A leitura de uma fração depende do seu denominador, podendo ser dividida em dois grupos.

O primeiro grupo compreende os denominadores iguais a ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 5}$, ${\displaystyle 6}$, ${\displaystyle 7}$, ${\displaystyle 8}$, ${\displaystyle 9}$, ${\displaystyle 10}$, ${\displaystyle 100}$ e ${\displaystyle 1000}$.

${\displaystyle *}$ Lê-se primeiro o numerador seguido de seu denominador.

${\displaystyle {\frac {3}{2}}\Rightarrow }$ Três meios; ${\displaystyle \qquad \qquad \qquad {\frac {2}{6}}\Rightarrow }$ Dois Sextos; ${\displaystyle \qquad \qquad \qquad {\frac {1}{10}}\Rightarrow }$ Um décimo;

${\displaystyle {\frac {1}{3}}\Rightarrow }$ Um terço;${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \quad {\frac {4}{7}}\Rightarrow }$ Quatro sétimos; ${\displaystyle \qquad \qquad {\frac {8}{100}}\Rightarrow }$ Oito centésimos;

${\displaystyle {\frac {5}{4}}\Rightarrow }$ Cinco quartos; ${\displaystyle \qquad \qquad \quad {\frac {6}{8}}\Rightarrow }$ Seis oitavos;${\displaystyle \qquad \qquad \qquad {\frac {2}{1000}}\Rightarrow }$ Dois milésimos

${\displaystyle {\frac {7}{5}}\Rightarrow }$Sete Quintos;${\displaystyle \qquad \qquad \qquad {\frac {3}{9}}\Rightarrow }$ Três nonos;

O segundo grupo compreende os denominadores que não pertencem ao primeiro, e acrescentamos a palavra AVOS

${\displaystyle {\frac {7}{15}}\Rightarrow }$ Sete quinze avos;

${\displaystyle {\frac {13}{57}}\Rightarrow }$ Treze cinquenta e sete avos;

${\displaystyle {\frac {45}{182}}\Rightarrow }$ Quarenta e cinco cento e oitenta e dois avos;

${\displaystyle {\frac {7}{21}}\Rightarrow }$ Sete vinte e um avos.

Observação: Para frações que tem como denominador o número um, lê-se apenas o numerador, pois essas frações são números inteiros.

Fonte: Wikipédia.

hDaremos alguns exemplos de como usar as frações no nosso dia a dia.AAAAlguns exemplos de como as frações podem ser ultilizadas no nosso dia a d

As frações são utilizadas para representar partes de um inteiro. Dessa forma, ao analisarmos os acontecimentos ao nosso redor verificamos várias utilizações de frações. Vamos representar situações nas quais conhecer e saber como utilizar frações se faz importante. 

EXEMPLO 1: Warley foi a pizzaria com suas amigas Uislana e Vitória. Pediram ao garçom uma pizza tamanho grande, que fora dividida em oito partes iguais. Warley comeu três pedaços, Uislana  e Vitória comeram dois pedaços cada. Vamos representar a quantidade que cada um comeu em relação ao total de oito pedaços. Veja:

Warley comeu três pedaços dentre os oito, portanto:  ;

Uislana comeu dois pedaços dentre os oito, portanto:  ;

Vitória comeu dois pedaços dentre os oito, portanto: ,

E ainda restou um pedaço que pode ser representado por:  .

Observe que para representar a quantidade de pedaços de pizza que cada um dos meninos comeram, tivemos que utilizar os números na forma de fração. 

EXEMPLO 2: 

Também podemos observar a utilização de números fracionários nos carros. Todos os carros possuem em seu painel um marcador de quantidade de combustível. Observe o exemplo:

Nesse marcador, os traços em branco registram a quantidade de combustível que resta no tanque, a letra V significa vazio e C cheio. Observe que nesse marcador temos dois números na forma de fração  e  , eles são valores referenciais. Considere que o tanque desse carro tenha capacidade para 60 litros de combustível, quando o ponteiro marcar  indica que ainda restam 15 litros, e quando marcar  o tanque está com 45 litros de combustível. Veja os cálculos:

de 60 = 

 de 60 = 

EXEMPLO 3: 

EXEMPLO 4:

EXEMPLO 5:

EXEMPLO 6:

EXEMPLO 7:

Deixamos aqui, uma imagem de como montar uma pizza desenhada, que vocês podem demonstrar, ela é muito útil para trabalhar com frações. 

Outra imagem para demonstração, uma pizza feita com farinha de trigo, no final para não ficar grudenta, vocês assam só a parte de baixo que está sem pintar que a pizza aparenta ser real! 

Parte 1: 

Parte 2: 

Assista este vídeo sobre: Adições, subtrações, divisões e multiplicações de frações.

Exercícios de frações. http://www.somatematica.com.br/soexercicios/fracoes.php

http://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-fracao-as-operacoes-matematicas.htm

Trabalho feito pelas(o) alunas: Mirele Araújo, Shirley da Silva, Uislana Góes, Vitória Santos e Warley Queiroz, do Colégio Estadual Dr. Eduardo Bahiana, turma do segundo ano. Agradecemos ao nosso excelente professor de matemática Reginaldo, por mostrar o seu trabalho explicando os alunos e sempre dando atenção a todos!