Sólidos de revolução são gerados
pela rotação de uma forma plana ao redor de um eixo. São formados pelo conjunto
de posições sucessivas que a forma geratriz ocupa no espaço. Como objetos de estudo, três sólidos
de revolução conhecidos:
o cilindro, o cone e a esfera.
o cilindro, o cone e a esfera.
v Cilindro
Uma superfície cilíndrica de revolução é
gerada por uma reta (geratriz) que gira uniformemente ao redor de um eixo fixo
paralelo.
Cilindro é o sólido formado por uma superfície cilíndrica fechada e dois planos paralelos que a cortam em todas as suas geratrizes. Pode-se defini-lo também como o sólido gerado pela rotação de um retângulo ao redor de um de seus lados.
Cilindro é o sólido formado por uma superfície cilíndrica fechada e dois planos paralelos que a cortam em todas as suas geratrizes. Pode-se defini-lo também como o sólido gerado pela rotação de um retângulo ao redor de um de seus lados.
Podemos obter um cilindro de diversas maneiras. Veremos duas
possibilidades:
·
Partindo de
um retângulo, fazendo-o girar uma volta inteira sobre um de seus lados. Este
lado é o eixo de rotação e corresponde à sua altura, isto é, à distância entre
as duas bases do cilindro.
·
Partindo de uma chapa de forma retangular, vamos enrolá-la sobre
si
mesma, fazendo com que os dois lados opostos coincidam. Desse modo, observamos claramente que a superfície lateral do cilindro é um retângulo e que as bases são círculos.
Elementos do Cilindro:
Superfície lateral e área total
A superfície lateral de um cilindro é obtida partindo-se da planificação do cilindro.
Observe que, no caso da superfície lateral do cilindro, a planificação corresponde a um retângulo. O lado maior do retângulo é proporcional ao comprimento da circunferência e o lado menor do retângulo corresponde à altura do cilindro. Assim, calculamos a sua área lateral a partir da fórmula da área de um retângulo - o produto do comprimento da circunferência da base pela altura:
Onde h é a altura e 2πr é o comprimento da circunferência.
A área total do cilindro é igual à área lateral mais a área das duas bases (círculos):
Secções de um cilindro
o Secção transversal
É a intersecção do cilindro com um plano
paralelo ás suas bases.
A secção transversal é um círculo congruente
ás bases.
o Secção meridiana
É a intersecção do cilindro com um plano que
contém o seu eixo.
A secção meridiana de um cilindro reto é um
retângulo.
Cone
Podemos
obter um cone de diversas maneiras. Veremos abaixo duas formas:
·
Fazendo girar um triângulo retângulo em torno de um de seus
catetos.
O cateto do triângulo retângulo ao redor do qual se efetua a rotação será a altura do cone, isto é, a distância do vértice à base. O outro cateto será o raio da base. E as infinitas posições que a hipotenusa pode adotar serão a geratriz ou apótema do cone.
·
Dobrando um pedaço de papel em forma de setor circular até que seus
dois raios extremos coincidam.
Elementos do cone:
Como observamos, o cone é formado por um setor circular e um círculo em sua base.
Para calcular a área lateral, devemos operar com o seguinte critério:
O setor circular tem um raio igual ao apótema ou geratriz do cone e seu arco é igual ao comprimento da circunferência da base.
Onde r é o raio e g, a geratriz do cone.
A área total pode ser obtida somando a área lateral com a área da base, isto é:
Secções do cone
o Secção transversal
A
secção transversal é a intersecção do cone com um plano paralelo à sua base.
A
secção transversal do cone é um círculo.
o Secção meridiana
A
secção meridiana é a intersecção do cone com um plano que contém o seu eixo.
A
secção meridiana de um cone reto é um triângulo isósceles.
Esfera
Devido às características especiais da esfera, ela não pode ser planificada.
A esfera é uma figura espacial diferente do cilindro e do cone. Daí a dificuldade de reproduzir, num papel, as diversas regiões da esfera, ou globo terrestre.
Uma esfera é obtida fazendo-se a rotação completa de um semicírculo sobre seu diâmetro. Com esse movimento, cada ponto do semicírculo descreve uma circunferência que tem como centro um ponto qualquer do diâmetro e cujo raio se torna maior à medida que aumenta a sua distância ao eixo. Todos os pontos da superfície esférica estão à mesma distância de um ponto chamado centro.
Área da
superfície da esfera
Determinar
a área da superfície de uma esfera não é tão fácil como achar a do cilindro ou
do cone.
A
área da superfície esférica é obtida multiplicando-se por 4 a
área de um círculo máximo:
Volume da esfera:
V=
Secção da esfera
o Secção determinada em uma esfera de raio R por um plano β.
Exercícios resolvidos:
1.
Qual é a capacidade de uma lata de
molho de tomate que tem forma cilíndrica, com 8cm de diâmetro e 11cm de altura?
(Use π=3)
Realidade
Modelo matemático
Resolução:
Se o diâmetro é de 8cm,
então r= 4cm.
h= 11 cm
v=π
h = π.
.11 = 176
Considerando π = 3 e sabendo
que 1d
=
1l e 1c
=
1ml, temos: 176.3
528
Logo, a capacidade da lata é de aproximadamente 528 ml.
2.
Qual
é o volume de um cone de raio 7 cm e altura 12 cm?
V=
π
h =
π .
. 12 = 196π
O volume do cone é 196 π c
.
EXPERIMENTO
Experimento
Cilindro = cone + esfera/²?
Objetivos:
1 1.
Fazer a comparação de volumes de
três sólidos: cone, esfera e cilindro;
2.
Obter as relações que fornecem o
volume do cone e da esfera a partir do volume do cilindro. 
Semiesfera
Tesoura
Régua;
Compasso;
Massa de modelar;
Estilete
(É opcional, servindo apenas para ajudar a modelar);
Recipiente cilíndrico transparente (pode ser um pote de
detergente, um copo etc);
Água.
Nesta etapa, deverá construir
um cone, um cilindro e uma semiesfera usando massa de modelar. Para facilitar a
montagem, será usado um molde feito de papel cartão.
v Cone
Ø Desenhar, no papel cartão, dois triângulos isósceles de altura R
e base 2R, e recortá-los;
Ø Sobre a altura, fazer um corte da base até a metade em um dos
triângulos e do vértice até a metade no outro;
Ø Encaixar os dois triângulos usando esses cortes (molde do cone);
Ø Com massinha de modelar,
construir finalmente o cone, usando o
molde anterior.
Molde do cone
Semiesfera
Ø Desenhar e recortar no papel cartão uma circunferência de raio, igual à altura do cone anterior, e
cortá-la ao meio em um de seus diâmetros;
Ø No raio perpendicular ao diâmetro recortado das
semicircunferências, fazer um corte da base até a metade em um deles e da
metade até a borda no outro; Ø Encaixar as duas semicircunferências usando esses cortes (molde
da semiesfera); Ø Com massinha de modelar, construir finalmente a semiesfera,
usando o molde anterior.
Molde da semiesfera
Cilindro
Ø Desenhar, no papel cartão, dois retângulos de largura igual a, igual à altura do cone anterior, e
comprimento, e recortá-los; No meio do comprimento dos retângulos, fazer um
corte perpendicular da base até a metade da largura Ø Encaixar os dois retângulos usando esses cortes (molde do
cilindro);
Ø Com massinha de modelar, construir finalmente o cilindro, usando
o molde anterior.
Molde do cilindro
Comparação dos volumes
Agora, com os sólidos prontos, iremos fazer a comparação de seus
volumes e provavelmente chegar à relação de 1:2:3 para os volumes do cone,
semiesfera e cilindro respectivamente.
Para essa comparação, será necessário o uso de um recipiente
cilíndrico transparente (frasco de detergente, por exemplo) com água. Vamos
fazer o seguinte:
Ø Marcar, no recipiente, o nível da água;
Ø Mergulhar o cone no recipiente e marcar novamente o nível. Medir
a alturaDcone que a água subiu;
Ø Retirar o cone e voltar a água no nível inicial.
Ø Colocar água no recipiente e marcar o nível atingido;
Ø Mergulhar o cone e marcar novamente o nível. Medir a alturaDcone que a água subiu;
Ø Retirar o cone e voltar a água no nível inicial.
Mergulhar o cilindro marcando novamente o nível da água.
Medir a altura Dcilindro que a água subiu;
Calcular a razão Dcone/Dcilindro
Ø Mergulhar a semiesfera e marcar novamente o nível da água. Medir a
altura Dsemiesfera que a água subiu;
Ø Retirar a semiesfera e
voltar a água no nível inicial. Mergulhar o cilindro marcando novamente o nível
da água.
Ø Medir a altura Dcilindro que a água subiu;
Ø Calcular as seguintes razões:
Dcone/Dcilindro e Dsemiesfera/Dcilindro
A partir daí, podemos verificar a relação mencionada, já que o
esperado é que água suba em proporções de 1:2:3 para o cone, semiesfera e
cilindro respectivamente. Isto quer dizer que
Vcone/1= Vsemiesfera/2= Vcilindro/3
Assim sendo, podemos facilmente constatar, pelas razões que
calculamos, que, se o volume do cilindro for V, então o volume da semiesfera é 2/3 de V e o do cone, que tem altura igual ao raio
da base, é 1/3 de V. =)
2ºM1
Vídeo aula:
Parte 1
Parte 1
Parte 2
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