Multiplicação

Multiplicação

A multiplicação é a operação aritmética que permite somar um número, chamado multiplicando, tantas vezes como parcela quantas são as unidades de um outro número chamado multiplicador.

O multiplicando e o multiplicador são fatores da multiplicação.

Por exemplo, a multiplicação de 3 por 4 é o mesmo que a soma de 4 mais 4 mais 4, ou seja, é igual a 12.

Utilizamos os símbolos  ou  como o operador da operação de multiplicação. Assim sendo podemos expressar a multiplicação de 3 por 4 como 3  4 ou como 3  4.

A Multiplicação é realizada da direita para esquerda, multiplicando-se em cada ordem, o dígito do multiplicador pelo dígito do multiplicando. O último algarismo deste resultado é colocado no produto parcial, se houver mais de um dígito, o outro será acrescido ao produto da próxima ordem do multiplicando, ou também no produto parcial se não houver mais dígitos no multiplicando.

A cada ordem do multiplicador, o resultado parcial é deslocado uma posição à direita refletindo a posição relativa do algarismo do multiplicador.

Finalmente todos os produtos parciais são somados a fim de obtermos o produto final da multiplicação.

Antes de continuar o estudo com a calculadora abaixo, é desejável que você esteja com a tabuada de multiplicação na ponta da língua. Se você tiver dúvidas quanto a isto, faça o download de uma tabuada para impressão e estude mais um pouco antes de prosseguir com o estudo da multiplicação.

Detalhando o Cálculo da Multiplicação

A multiplicação ficará mais fácil se eliminarmos zeros à direita dos números em questão e também vírgulas decimais.

Em vez de trabalharmos com 3,13 e 0,205, iremos trabalhar com 313 e 205.

Obviamente após o término da multiplicação devemos fazer alguns ajustes levando-se em consideração os procedimentos realizados agora.

Para a realização da multiplicação os números devem ser postos uns sobre os outros e alinhados à direita.

Iremos multiplicar cada um dos dígitos do multiplicador por cada um dos dígitos do multiplicando, partindo-se da direita para a esquerda em ambos os números.

5 vezes 3 é igual a 15.

O 5 é colocado no produto parcial e o 1 vai para a próxima ordem.

5 vezes 1 é igual a 5, com o 1 vindo da ordem anterior resulta em 6.

O 6 é colocado no produto parcial.

5 vezes 3 é igual a 15.

O 15 é colocado no produto parcial.

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Como o dígito do multiplicador agora é o 0, ao invés de o multiplicarmos individualmente pelos dígitos do multiplicando, podemos ignorá-lo, mas para isto devemos deslocar o próximo produto parcial em duas posições para a esquerda, em vez de uma como seria o normal.

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2 vezes 3 é igual a 6.

O 6 é colocado no produto parcial.

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2 vezes 1 é igual a 2.

O 2 é colocado no produto parcial.

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2 vezes 3 é igual a 6.

O 6 é colocado no produto parcial.

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Terminadas as multiplicações parciais, agora iremos colocar um traço abaixo dos números para realizar a soma dos produtos parciais obtidos.

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Na primeira ordem temos apenas o dígito 5 que é colocado no total.

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Na segunda ordem temos apenas o dígito 6 que é colocado no total.

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Ao somarmos os dígitos da terceira ordem temos: 5 + 6 = 11

O 1 vai para a próxima ordem e o 1 é posto no total.

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Ao somarmos os dígitos da quarta ordem temos: 1 + 1 + 2 = 4

O 4 é posto no total.

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Na quinta ordem temos apenas o dígito 6 que é colocado no total.

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Temos o seguinte resultado da operação aritmética de multiplicação:

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Finalmente como originalmente tínhamos 2 casas decimais no multiplicando e 3 casas decimais no multiplicador, devemos então contar 5 casas da direita para a esquerda e recolocar a vírgula.

Multiplicação(Por outra visão)

Em matemática, a multiplicação é uma operação binária. Na sua forma mais simples a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Ao lado da adição, da divisão e da subtração, a multiplicação é uma das quatro operações fundamentais da aritmética.^[1] Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador.^[2]

${\displaystyle x\cdot y={\begin{matrix}\underbrace {y+y+\cdots +y} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}}$

(lê-se "x vezes y" ou "y adicionado x vezes")

Assim, por exemplo,

${\displaystyle 3\times 4=4+4+4=12,}$

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de reta dados determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais.

Propriedades

• Comutatividade: A ordem dos fatores não altera o resultado da operação. Assim, se x . y = z, logo y . x = z.(5×4=20, logo 4×5=20)
• Associatividade: O agrupamento dos fatores não altera o resultado. (Podemos juntar de dois em dois de modo que facilite o cálculo). Assim, se (x . y) . z = w, logo x . (y . z) = w.[(2×3)×4=24 logo 2×(3×4)=24]
• Distributividade: Um fator colocado em evidência numa soma dará como produto a soma do produto daquele fator com os demais fatores. Assim, x . (y + z) = (x . y) + (x . z).
• Elemento neutro: O um (1) é chamado elemento neutro da multiplicação. Assim, x . 1 = x = 1 . x.
• Elemento opositor: O fator -1 (menos um) transforma o produto em seu simétrico. Assim, -1 . x = -x e -1 . y = -y, para y diferente de x.
• Fechamento: O produto de dois números reais será sempre um número real.
• Anulação: O fator 0 (zero) anula o produto. Assim, x . 0 = 0, e y . 0 = 0, com x diferente de y.

Na matemática, podemos dizer que a multiplicação é a mais simples forma de agruparmos uma quantidade finita de números. Ao efetuarmos uma multiplicação, chegamos a uma resposta que é chamada de produto. Na geometria, está relacionada também como uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de retas dados, podemos determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais.

Comutatividade da multiplicação de números naturais:

${\displaystyle x\cdot y={\begin{matrix}\underbrace {y+y+y+\cdots +y} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}}$

${\displaystyle x\cdot y={\begin{matrix}\underbrace {y+y+y+\cdots +y} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}+x-x}$

${\displaystyle =x+{\begin{matrix}\underbrace {(y-1)+(y-1)+\cdots +(y-1)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}}$

${\displaystyle =x+x+{\begin{matrix}\underbrace {(y-2)+(y-2)+\cdots +(y-2)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}}$

${\displaystyle ={\begin{matrix}\underbrace {x+x+x+\cdots +x} \\{n}\\[-4ex]\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {(y-n)+(y-n)+\cdots +(y-n)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}}$ Tomando ${\displaystyle n=y,}$ temos:

${\displaystyle ={\begin{matrix}\underbrace {x+x+x+\cdots +x} \\{y}\\[-4ex]\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {(y-y)+(y-y)+\cdots +(y-y)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}}$

${\displaystyle ={\begin{matrix}\underbrace {x+x+x+\cdots +x} \\{y}\\[-4ex]\end{matrix}}}$

${\displaystyle =y\cdot x}$

Distributividade da multiplicação de números naturais:

${\displaystyle x\cdot (y+z)={\begin{matrix}\underbrace {(y+z)+(y+z)+\cdots +(y+z)} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}}$

${\displaystyle ={\begin{matrix}\underbrace {y+y+y+\cdots +y} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {z+z+z+\cdots +z} \\{x}\\[-4ex]\end{matrix}}}$

${\displaystyle =x\cdot y+x\cdot z}$

Notação

A multiplicação pode ser escrita de várias formas equivalentes. Todas as formas abaixo significam, "5 vezes 2":

${\displaystyle 5\times 2}$

${\displaystyle 5\cdot 2}$

${\displaystyle (5)2,\ 5(2),\ (5)(2),\ 5[2],\ [5]2,\ [5][2]}$

${\displaystyle 5*2}$

O asterisco é usado frequentemente em computação pois é um símbolo existente em todos os tipos de teclado, mas não é usado quando se escreve matemática à mão (A origem desta notação vem da linguagem de programação FORTRAN.) Frequentemente a multiplicação esta implícita na notação. Isto é o padrão em Álgebra, onde se usa formas como:

${\displaystyle 5x}$ e ${\displaystyle xy.}$

O potencial de confusão que isto cria é grande, já que não podemos ter variáveis com mais de uma letra.

É possível se multiplicar um ou mais termos de uma vez. Se os termos não são escritos explicitamente, então o produto pode ser escrito com reticências ... para marcar os termos que estão subentendidos, como em outras operações em série na soma.

Desta forma, o produto de todos os números naturais de 1 a 100 pode ser escrito como ${\displaystyle 1\cdot 2\cdot \ldots \cdot 99\cdot 100.}$ Isto também pode ser escrito com as elipses (três pontinhos) no meio da linha e não embaixo, como ${\displaystyle 1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 99\cdot 100.}$

De forma alternativa, como na adição o produto pode ser escrito usando-se um símbolo de produto, chamado produtório Π que é a letra Pi no alfabeto grego.

Isto é definido como:

${\displaystyle \prod _{i=m}^{n}x_{i}:=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \cdots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}.}$

O subscrito é uma variável muda (${\displaystyle i}$ no nosso caso), o limite inferior é (${\displaystyle m}$) e o limite superior é ${\displaystyle n.}$

Assim por exemplo:

${\displaystyle \prod _{i=2}^{6}\left(1+{1 \over i}\right)=\left(1+{1 \over 2}\right)\cdot \left(1+{1 \over 3}\right)\cdot \left(1+{1 \over 4}\right)\cdot \left(1+{1 \over 5}\right)\cdot \left(1+{1 \over 6}\right)={7 \over 2}.}$

Podemos também considerar um produto com um número infinito de termos; este é chamados de produto infinito. Apenas como notação, basta substituir n acima por infinity o símbolo para (∞). Matematicamente, o produtório é definido para séries infinitas como o limite do produto dos ${\displaystyle n}$ primeiros termos, quando ${\displaystyle n}$ cresce sem limite. Isto é:

${\displaystyle \prod _{i=m}^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}.}$

Podemos de forma semelhante substituir ${\displaystyle m}$ por infinito negativo, e

${\displaystyle \prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}:=\left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=-n}^{m}x_{i}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m+1}^{n}x_{i}\right),}$

para algum inteiro ${\displaystyle m,}$ desde que o limite exista.

Indeterminações

Na multiplicação e divisão, existem 2 indeterminações:

• ${\displaystyle \pm {\frac {\infty }{\infty }}}$
• ${\displaystyle 0\cdot \infty }$

Alguns exercícios para fixar a multiplicação:

http://www.a77.com.br/matematica/contas_multiplicacao_matematica_1.php

http://www.a77.com.br/matematica/contas_multiplicacao_matematica_10.php

EXERCÍCIOS

1) Efetue as multiplicações

a) 2 x 1,7=
b) 0,5 x 4 =
c) 0,5 x 7 = 
d) 0,25 x 3 =
f) 6 x 3,21 =

2) Efetue as multiplicações

a) 5,7 x 1,4 =
b) 0,42 x 0,3 =
c) 7,14 x 2,3 =
d) 14,5 x 0,5 =
e) 13,2 x 0,16 = 
f) 7,04 x 5 =
g) 21,8 x 0,32 =
h) 3,12 x 2,81 = 
i) 2,14 x 0,008 = 
j) 4,092 x 0,003 =


3) Determine os seguintes produtos:

a) 0,5 x 0,5 x 0,5 =
b) 3 x 1,5 x 0,12 =
c) 5 x 0,24 x 0,1 =
d) 0,2 x 0,02 x 0,002 =
e) 0,7 x 0,8 x 2,1 =
f) 3,2 x 0,1 x 1,7 =

4) Calcule o valor das expressões

a) 3 x 2,5 - 1,5 =
b) 2 x 1,5 + 6 =
c) 3,5 x 4 - 0,8 =
d) 0,8 x 4 + 1,5 =
e) 2,9 x 5 - 8,01 =
f) 1,3 x 1,3 - 1,69 =



5) Calcule o preço total de uma impressora colorida que foi paga em 6 vezes iguais de R$ 58,16.

6) Um carro faz, em média, 12,5 quilômetros com um litro de gasolina. Quantos quilômetros terá rodado, em média, depois de consumir:

a) 6 litros de gasolina?
b) 25 litros de gasolina?
c) 38,5 litros de gasolina?

7) A velocidade de um navio são 20 nós. Mantendo essa velocidade, quantos quilômetros percorrerá em:

a) 2 horas?
b) 3,5 horas?

Obs: Um nó equivale a 1,852 quilômetros por hora.


8)Na mercearia, Elvis comprou 3 kg de arroz, 1 kg de feijão, 5 kg de batata e 2 kg de café. Calcule o preço total pago por Elvis, sabendo-se que:

1 kg de feijão custa R$ 2,30
1 kg de arroz custa R$ 2,15
1 kg de batata custa R$ 2,60
1 kg de café custa R$ 4,80

Alguns vídeos para auxiliar nos ensinamentos:

http://m.youtube.com/watch?v=ai9QOihdur4

http://m.youtube.com/watch?v=qJWCXmwj4fE

http://m.youtube.com/watch?v=0ziYp9N-zGE

http://m.youtube.com/watch?v=8QxWtrFHFxY