Trigonometria

 TRIGONOMETRIA

O surgimento da trigonometria está diretamente ligado aos povos egípcios e babilônicos. Eles utilizavam as razões entre os lados de um triângulo na resolução de problemas cotidianos. Mas foi na Grécia que a trigonometria obteve ascensão.  é o possível mentor desta ciência, pois é atribuído a ele o estabelecimento das bases trigonométricas.
A necessidade de medir ângulos e distância inacessíveis nos problemas relacionados à astronomia contribuiu para o uso da trigonometria como ferramenta auxiliar. Os hindus e os árabes também tiveram participação incisiva no seu desenvolvimento. Mas até então a trigonometria era uma parte da astronomia. Foi na Europa, por volta do século XV, que a trigonometria foi separada da astronomia, surgindo inúmeras aplicações em diversas áreas do conhecimento. O termo trigonometria é de origem grega e está associado ao triângulo e suas medidas.

        Razões Trigonométricas

• CATETOS E HIPOTENUSA

 Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de HIPOTENUSA e os lados adjacentes de CATETOS.

Hipotenusa:    BC

Catetos:         AC e AB

• SENO,COSSENO E TANGENTE

   Considere um triângulo retângulo BAC:

Hipotenusa:    BC, m(BC) = a.

Catetos:          AC , m(AC) = b.

                          AB, m(AB) = c.

Ângulos:         A, B  e  C.

Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:

•SENO: de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.                                 

Seno= Medida do Cateto Oposto
           Medida da Hipotenusa

             

   Ex:

•SEN: C=c.a

•SEN: B=b.a

COSSENO: de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

COSSENO= Medida Do Cateto Adjacente
           Medida Da Hipotenusa

Ex:

 COS:C=b.a

COS: B=c.a

Tangente: de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

  Ex:                                           

TANGENTE= Medida Do Cateto Oposto
                              Medida Do Cateto Adjacente 

TG=B:b.c

TG=C:c.b

 

   Observações:

    1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo e o seu cosseno.

   Assim:  

  2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo.

    3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores    que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa.

          TEOREMA DE PITÁGORAS

O Teorema de Pitágoras é considerado uma das principais descobertas da Matemática. Ele descreve uma relação existente no triângulo retângulo. Vale lembrar que o triângulo retângulo pode ser identificado pela existência de um ângulo reto, isto é, que mede 90º. O triângulo retângulo é formado por dois catetos e a hipotenusa, que constitui o maior segmento do triângulo e localiza-se opostamente ao ângulo reto. 

Observe: 

                 Catetos: a e b                              Hipotenusa: c

Triângulo retângulo de catetos a e b e hipotenusa c

O Teorema de Pitágoras diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

a² + b² = c² 

Exemplos:

 Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a seguir.

                                   x² = 9² + 12²
                                   x² = 81 + 144
                                   x² = 225
                                  √x² = √225
                                   x = 15
Um ciclista acrobático passará de um prédio a outro com uma bicicleta especial e sobre um cabo de aço, como demonstra o esquema a seguir:

Qual é a medida mínima do comprimento do cabo de aço?

Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

x² = 10² + 40²
x² = 100 + 1600
x² = 1700
x = 41,23 (aproximadamente)

trigonométricas de 30º, 45º e 60º

VÍDEO AULA SOBRE TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA

 EXERCÍCIOS SOBRE TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

(UF – PI)

1°)  Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião?

2°)De um ponto A, um agrimensor enxerga o topo T de um morro, conforme um ângulo de 45º. Ao se aproximar 50 metros do morro, ele passa a ver o topo T conforme um ângulo de 60º. Determine a altura do morro.

(Cefet – PR)

A rua Tenório Quadros e a avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas,  cruzam-se conforme um ângulo de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul  encontra-se na avenida Teófilo Silva a 4 000 m do citado cruzamento. Sabendo que o percurso do posto Estrela do Sul até a rua tenório quadros forma um ângulo de 90° no ponto de encontro do posto com a rua Teófilo Silva, determine em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a rua Tenório Quadros?

 Resposta

1°)

A altura será de 500 metros. 

2°)

3°)